二次元正規分布
\(\small x,y\)が相関係数\(\small \rho\)、平均\(\small \mu_1,\mu_2\)、分散\(\small \sigma_1,\sigma_2\)の正規分布に従う場合、確率密度関数は
\[ \small p(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left(-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}-2\rho\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\frac{y-\mu_2}{\sigma_2} \right]\right) \]
で与えられる。これは多変量正規分布の確率密度関数
\[ \small p(X) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n|\Sigma|}}\exp\left(-\frac{1}{2}(X-\mu)\Sigma^{-1}(X-\mu)^T \right) \]
において、分散共分散行列\(\small \Sigma\)を
\[ \small \Sigma = \left[\begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \]
と置いて地道に計算すれば得ることができるだろう。
特殊ケースとして、\(\small \rho = \pm 1\)の場合は上記の確率密度関数では計算することができない。この場合は\(\small x\)が定まれば\(\small y\)は確定的に定まるためであり、それぞれ
\[ \small \begin{align} &\rho=1 \Rightarrow x = \mu_1+\epsilon_1, \;y = \mu_2+\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\epsilon_1 \Rightarrow y = \mu_2 + \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1) \\ &\rho=-1 \Rightarrow x = \mu_1+\epsilon_1, \;y = \mu_2-\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\epsilon_1 \Rightarrow y = \mu_2 – \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1) \ \end{align} \]
が成り立つ。これらの場合、確率密度関数は
\[ \small p_{\rho=\pm 1}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2} \right)1_{\left\{y=\mu_2 \pm\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1)\right\}} \]
というふうに計算できるだろう。この関係は反転することもできて
\[ \small p_{\rho=\pm 1}(x,y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2^2}}\exp\left(-\frac{(y-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} \right)1_{\left\{x=\mu_1 \pm\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2)\right\}} \]
と表すこともできる。
複素数正規分布
二変数の正規分布の確率分布が前節のように与えられるのであるから、\(\small z=x+iy\)と置く場合、複素数に関する確率分布を同様に考えることができるだろう。一般的な設定では計算が複雑になるので、\(\small \rho=0\)、及び、\(\small \sigma = \sigma_1=\sigma_2\)を仮定する。複素数に関する確率分布は
\[ \small \begin{align*} &x = \mu_1 + \epsilon_1, \quad \epsilon_1\sim N(0, \sigma^2) \\ &y = \mu_2 + \epsilon_2, \quad \epsilon_2\sim N(0, \sigma^2) \end{align*} \]
であるときの\(\small z\)が従う確率分布を求めよ、という問題になる。複素数の確率分布は基本的に二変数の確率分布であるから、\(\small z,z^\ast\)の同時確率分布として表現されることに注意する。
実部、虚部と複素数の関係から
\[ \small \begin{align*} &x = \frac{z+z^\ast}{2} \\ &y = \frac{z-z^\ast}{2i} \ \end{align*} \]
であるから、二変数の正規分布の確率密度関数の式を単純に置き換えると
\[ \small p(z,z^\ast) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{1}{2}\left[\frac{(\frac{z+z^\ast}{2}-\mu_1)^2}{\sigma^2}+\frac{(\frac{z-z^\ast}{2i}-\mu_2)^2}{\sigma^2} \right]\right) \]
を得る。式を整理するため
\[ \small \begin{align*} &w = z-\mu_1-\mu_2i=z-\mu_z \\ &w^\ast = z^\ast-\mu_1+\mu_2i=z^\ast-\mu_{z^\ast} \end{align*} \]
と定義すると
\[ \small \begin{align*} \frac{z+z^\ast}{2}-\mu_1 = \frac{w+w^\ast}{2} \\
\frac{z-z^\ast}{2i}-\mu_2 = \frac{w-w^\ast}{2i} \end{align*} \]
と置き換えることができる。したがって
\[ \small \frac{(\frac{z+z^\ast}{2}-\mu_1)^2}{\sigma^2}+\frac{(\frac{z-z^\ast}{2i}-\mu_2)^2}{\sigma^2}=\frac{ww^\ast}{\sigma^2} = \frac{(z-\mu_z)(z^\ast-\mu_{z^\ast})}{\sigma^2} \]
が成り立つ。最終的な確率分布は
\[ \small p(z,z^\ast) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \exp\left(-\frac{(z-\mu_z)(z^\ast-\mu_{z^\ast})}{2\sigma^2}\right) \]
とまとめることができる。複素数で標準的な正規分布を考える場合は、\(\small \sigma=1/\sqrt{2}\)とするらしく、複素数標準正規分布の確率密度関数は
\[ \small p(z,z^\ast) = \frac{1}{\pi} \exp\left(-|z|^2 \right) \]
と表されるようである。
複素数ブラウン運動
複素数の確率変数を確率過程の形式で表して
\[ \small \begin{align*} &dx(t) = \mu_1 dt + \sigma dB_1, \quad B_1(t)\sim N(0, t) \\
&dy(t) = \mu_2 dt + \sigma dB_2, \quad B_2(t)\sim N(0, t) \end{align*} \]
という確率過程を考えよう。
\[ \small \mu_z = \mu_1 + \mu_2i \]
と置けば
\[ \small p(z,z^\ast,t) = \frac{1}{2\pi\sigma^2t} \exp\left(-\frac{(z-\mu_z t)(z^\ast-\mu_{z^\ast}t)}{2\sigma^2t}\right) \]
が複素数ブラウン運動の確率密度関数となることは容易に推測できる。この確率分布が満たす偏微分方程式を求めてみよう。
偏微分係数を計算してみると
\[ \small \begin{align*} &\frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial t} = \Biggl(-\frac{1}{t}+\frac{\mu_{z}(z^\ast-\mu_{z^\ast} t)+\mu_{z^\ast}(z-\mu_z t)}{2\sigma^2t} \\ &\qquad\qquad\qquad\quad+\frac{\sigma^2}{2}\frac{(z-\mu_z t)(z^\ast-\mu_{z^\ast} t)}{\sigma^4t^2} \Biggr)p(z,z^\ast,t) \\ &\frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial z} = -\frac{z^\ast-\mu_{z^\ast} t}{2\sigma^2t}p(z,z^\ast,t) \\ &\frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial z^\ast} = -\frac{z-\mu_{z} t}{2\sigma^2t}p(z,z^\ast,t) \\ &\frac{\partial^2 p(z,z^\ast, t)}{\partial z\partial z^\ast} = \left(-\frac{1}{2\sigma^2t}+\frac{(z-\mu_{z} t)(z^\ast-\mu_{z^\ast} t)}{4\sigma^4t^2}\right)p(z,z^\ast,t) \end{align*} \]
を得る。したがって、
\[ \small \frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial t} = -\mu_z\frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial z}-\mu_{z^\ast}\frac{\partial p(z,z^\ast, t)}{\partial z^\ast}+2\sigma^2\frac{\partial^2 p(z,z^\ast, t)}{\partial z\partial z^\ast} \]
が複素数ブラウン運動に関するフォッカー-プランク方程式ということになる。次元が二次元であることと、複素数のボラティリティは通常\(\small 1/\sqrt{2}\)倍するが、それを1として計算しているため、二階微分に掛かる係数が２になっている。ここまできて、\(\small \rho\)とか\(\small \sigma_1,\sigma_2\)の計算をさぼったこと後悔したが、おそらくこれらを含めたフォッカー-プランク方程式はきれいな式にはならない気がする・・・
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