概要
シュレディンガー方程式で自由粒子と並んで代表的な計算例が本稿で扱う調和振動子（Harmonic Oscillator）である。数学的にやたらと難しい計算をするし、ほとんどすべての教科書において、なぜこのような計算が正当化されるのかという説明が存在しない。”考えるな、計算しろ”（Shut up and calculate）の代表格とも思える問題である。しかし、光子のエネルギーが
\[ E_n = \left(n+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega \]
といったとびとびの値しかとらないということを正当化している計算としても有名であり、これを本当の意味で理解しないことには量子力学はよくわからないままになってしまうのではないだろうか。また、上記のエネルギーを導出するまでで満足してしまって、結局調和振動子のシュレディンガー方程式がどういった確率分布を表現している式なのか示してくれていない（というより、間違っている確率分布を示している）教科書がほとんどである。本稿では、一応最後の確率分布の計算までやるし、多分に仮説的であるけど、筆者の独断と偏見による解の解釈を提示するつもりである。
問題設定
古典力学における調和振動子
\[ E = \frac{p^2}{2m} + \frac{m}{2}\omega^2x^2 \]
に、量子力学における対応原理
\[ E \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t}, \quad p \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \]
を適用して導出したシュレディンガー方程式
\[ i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi(x,t)}{\partial x^2}+\frac{m}{2}\omega^2x^2\psi(x,t) \]
の解を求めよう。自由状態における波動関数
\[ \psi(x,t) = \exp\left(i\frac{p}{\hbar}x\right)\exp\left(-i\frac{E}{\hbar} t \right) \]
と同様に\(\small x,t\)について分離できる関数を仮定する。すなわち、
\[ \psi(x,t) = \Psi(x)\exp\left(-i\frac{E}{\hbar} t \right) \]
を仮定する。これにより調和振動子のシュレディンガー方程式は
\[ E\Psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+\frac{m}{2}\omega^2x^2\Psi(x) \]
と置き換えることができる。式を整理すると
\[ \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}+\left(\frac{2m}{\hbar^2}E-\frac{m^2\omega^2}{\hbar^2}x^2\right)\Psi(x) = 0 \]
と計算できる。
エルミート多項式
前節の微分方程式の解を求めるため、天下り的にエルミート多項式の定義を示す。以下の式を満たす多項式をエルミート多項式（Hermite Polynomials）という。
\[ H_n(\xi) = (-1)^ne^{\xi^2} \frac{d^n}{d\xi^n}e^{-\xi^2} \]
具体的な関数型は合流型超幾何関数という特殊関数を用いて表されるが、本稿では使用しないので特に気にしなくてよい。上記の計算式から計算される多項式であるとだけ認識しておこう。エルミート多項式の面白い性質として、（正規分布を表す関数）\(\small \exp(-(\xi-a)^2)\)を\(\small \xi\)についてテイラー展開すると
\[ \begin{align*} \exp\left(-(\xi-a)^2\right) &=\exp\left(-\xi^2 \right)\exp\left(2\xi a-a^2 \right) \\ &=\exp\left(-\xi^2 \right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}H_n(\xi)a^n \end{align*} \]
が成り立つ。この多項式は以下の微分方程式を満たすことが知られている。
\[ \frac{d^2H_n(\xi)}{d\xi^2}-2\xi\frac{dH_n(\xi)}{d\xi}+2nH_n(\xi)=0,\quad n=0,1,\cdots \]
前節の微分方程式をこの形式に対応するように変数変換しよう。
（後で元に戻すけど）記号として
\[ k^2 = \frac{2mE}{\hbar^2},\quad \lambda = \frac{m\omega}{\hbar},\quad\xi = \sqrt{\lambda}x \]
を定義しておく。これにより問題の方程式は
\[ \begin{align*} &\lambda\frac{d^2\Psi(\xi)}{d\xi^2}+\left(k^2-\lambda \xi^2\right)\Psi(\xi) = 0 \\ \Rightarrow & \frac{d^2\Psi(\xi)}{d\xi^2}+\left(\frac{k^2}{\lambda}-\xi^2\right)\Psi(\xi) = 0 \end{align*} \]
と変数変換することができる。\(\small \Psi(\xi)\)の解の形式として
\[ \Psi(\xi) = \exp\left(-\frac{\xi^2}{2} \right) \Phi(\xi) \]
を仮定して、\(\small \Phi(\xi)\)の微分方程式を求める。地道に計算すると
\[ \frac{d^2\Psi(\xi)}{d\xi^2} = \exp\left(-\frac{\xi^2}{2} \right) \left[(\xi^2-1) \Phi(\xi)-2\xi\frac{d\Phi(\xi)}{d\xi}+\frac{d^2\Phi(\xi)}{d\xi^2}\right] \]
が成り立つから、元の方程式に代入すると
\[ \frac{d^2\Phi(\xi)}{d\xi^2}-2\xi\frac{d\Phi(\xi)}{d\xi}+\left(\frac{k^2}{\lambda}- 1\right)\Phi(x) = 0 \]
を得る。エルミート多項式の微分方程式と対応関係を考えれば
\[ 2n = \frac{k^2}{\lambda}-1 \]
が成り立てば、
\[ \Phi_n(\xi) = H_n(\xi), \quad n=0,1,\cdots \]
の線形結合として\(\small \Phi(\xi)\)の解を定めることができることになる。定義式を代入すると
\[ 2n = \frac{2E_n}{\hbar\omega}-1 \]
であるから、
\[ E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega \]
が成り立てばよいということになるだろう。
したがって、波動関数の基底関数は
\[ \psi_n(\xi(x),t) = \exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)H_n(\xi)\exp\left(-i\frac{E_n}{\hbar} t \right) \]
と定めればよいことになる。一般的な解はこれら基底関数の線形結合で表され
\[ \psi(x,t) = \sum_{n=0}^\infty A_n \psi_n(\xi(x),t) \]
と得ることができる。
ガウス型波束モデル
大抵の教科書では、調和振動子のシュレディンガー方程式が表す確率分布として、単一のエルミート多項式から導出される確率分布を提示している。例えば、以下のようなものである。
これをみて、なるほど量子（光子）の座標の確率分布はとびとびなのかと思うかもしれないが、これは間違っている。エルミート多項式はあくまで確率分布を表現するための基底関数であって、これ単体で光子の検出確率分布を表すわけではない。前節の最後で書いたようにこれを計算するためには
\[ \psi(x,t) = \sum_{n=0}^\infty A_n \psi_n(\xi(x),t) \]
を計算しなければならない。
自由状態におけるシュレディンガー方程式同様に、光子の初期時点における座標の不確定性が正規分布で表されると仮定する。エルミート多項式は正規分布のテイラー展開と
\[ \exp\left(-(\xi-a)^2\right) =\exp\left(-\xi^2 \right) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}H_n(\xi)a^n \]
という関係があるのであったから、確率振幅\(\small A_k\)の値として
\[ A_n \propto \frac{1}{n!}\left(\frac{a}{2} \right)^n, \quad n=0,1,\cdots \]
を考える。\(\small 0!=1\)と置けば、\(\small A_0 = 1\)となることに注意する。\(\small a\)は任意の定数である。この場合、初期時点の波動関数は
\[ \begin{align*} \psi(x, 0) &= \sum_{n=0}^\infty A_n \psi_n(\xi(x),0) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{a}{2} \right)^n\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)H_n(\xi) \\ & = \exp\left(\frac{\xi^2}{2}\right)\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\exp\left(-\xi^2\right)H_n(\xi)\left(\frac{a}{2} \right)^n \end{align*} \]
となる。級数部分は
\[ \exp\left(-\left(\xi-\frac{a}{2} \right)^2 \right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\exp\left(-\xi^2\right)H_n(\xi)\left(\frac{a}{2} \right)^n \]
が成り立つ。したがって
\[ \begin{align*} \psi(x, 0) &= \exp\left(\frac{\xi^2}{2}\right) \exp\left(-\left(\xi-\frac{a}{2} \right)^2 \right) \\ &=\exp\left(\frac{a^2}{4}\right)\exp\left(-\frac{\left(\xi-a\right)^2}{2} \right) \end{align*} \]
となる。\(\small \xi\)を\(\small x\)に戻せば
\[ \psi(x, 0) = \exp\left(\frac{a^2}{4}\right)\exp\left(-\frac{\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}\right)^2}{2} \right) \]
となる。これは正規分布であるから、定数係数を
\[ A_n = \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}e^{-a^2/4}\frac{1}{n!}\left(\frac{a}{2} \right)^n, \quad n=0,1,\cdots \]
と定めれば、座標の確率分布の合計が1になり
\[ \begin{align*} &\psi(x, 0) = \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}\exp\left(-\frac{\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}\right)^2}{2} \right) \\ &P(x, 0) = |\psi(x, 0)|^2 = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\exp\left(-\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}\right)^2 \right) \end{align*} \]
を得る。正規分布関数を\(\small N(\mu,\sigma^2)\)と表せば
\[ x \sim N \left(\frac{a}{\sqrt{\lambda}}, \frac{1}{2\lambda} \right) \]
を得る。ボラティリティっぽく表すならば、\(\small 1/\lambda = \sigma^2\)だろう。
同様にして、時間発展を含めた関数
\[ \psi(x,t) = \sum_{n=0}^\infty A_n \psi_n(\xi(x),t) \]
を計算しよう。うまく計算すると
\[ \begin{align*} \psi(x, t) &= \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}e^{-a^2/4}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\frac{a}{2} \right)^n\exp\left(-\frac{\xi^2}{2}\right)H_n(\xi)\exp\left(-i\frac{E_n}{\hbar} t \right) \\ & = \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}e^{-a^2/4}\exp\left(\frac{\xi^2-i\omega t}{2}\right)\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\exp\left(-\xi^2\right)H_n(\xi)\left(\frac{a}{2}e^{-i\omega t} \right)^n \end{align*} \]
級数部分はテイラー展開から
\[ \exp\left(-\left(\xi-\frac{a}{2}e^{-i\omega t} \right)^2 \right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\exp\left(-\xi^2\right)H_n(\xi)\left(\frac{a}{2}e^{-i\omega t} \right)^n \]
が成り立つ。したがって
\[ \psi(x,t) = \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}e^{-a^2/4}\exp\left(\frac{a^2}{4}e^{-2i\omega t}-\frac{i\omega t}{2} \right)\exp\left(-\frac{\left(\xi-ae^{-i\omega t}\right)^2}{2} \right) \]
を得る。\(\small \xi\)を\(\small x \)に戻せば
\[ \psi(x, t) = \left(\frac{\lambda}{\pi}\right)^{{1/4}}e^{-a^2/4}\exp\left(\frac{a^2}{4}e^{-2i\omega t}-\frac{i\omega t}{2} \right)\exp\left(-\frac{\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right)^2}{2} \right) \]
となる。複素共役を掛けて座標の確率分布を計算すると
\[ P(x, t) = |\psi(x, t)|^2 = \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\exp\left(-\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}\cos\omega t\right)^2 \right) \]
を得る（計算が若干複雑だが
\[ (\cos \omega t)^2= \frac{1}{4}(e^{-2i\omega t} + e^{2i\omega t}+2) \]
という関係式を用いれば導出できる。）。正規分布関数を用いれば
\[ x(t) \sim N\left(\frac{a}{\sqrt{\lambda}}\cos\omega t, \frac{1}{2\lambda} \right) \]
という計算結果が得られる。これが、調和振動子のシュレディンガー方程式が表す座標の確率分布である。時間を固定すれば、分散が一定の正規分布であり、確率過程と考えればドリフトがcos関数のホワイトノイズ過程を表す方程式であると考えることができる。
最後に上記の解が調和振動子のシュレディンガー方程式を満たしていることを確認しておこう。
\[ \begin{align*} &\frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2} = \left[\lambda^2\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right)^2-\lambda \right]\psi(x, t) \\ &\frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = \left[-\frac{i\omega}{2}\left( a^2e^{-2i\omega t}+1\right)+i\omega\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right)\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right]\psi(x, t) \end{align*} \]
であるから
\[ \begin{align*} &-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2} = \frac{\hbar\omega}{2} \left[-\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right)^2+1\right]\psi(x, t) \\ &i\hbar\frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t} = \frac{\hbar\omega}{2}\left[\left( a^2e^{-2i\omega t}+1\right)-2\lambda\left(x-\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right)\frac{a}{\sqrt{\lambda}}e^{-i\omega t}\right]\psi(x, t) \end{align*} \]
が成り立つ。地道に計算すると
\[ i\hbar\frac{\partial \psi(x, t)}{\partial t}+\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x, t)}{\partial x^2} =\frac{\hbar\omega}{2}\lambda x^2 \]
を得る。\(\small \lambda\)を元の記号に戻せば、確かに調和振動子のシュレディンガー方程式を満たしていることが確認できる。
調和振動子の解の意味
調和振動子を用いて電磁場（光子）の運動方程式（ハミルトニアン）を記述する計算は量子力学ではよく説明されるし、光子のエネルギーが離散値しかとらないという現象も調和振動子の計算から正当化される。しかし、一体この計算にどのような意味があるのか、どういった背景からこのような計算で電磁場の物理量が計算できるのかというところについては、よくわからないと言われるし、筆者にも基本的に意味不明である。そもそも電磁場（光子）に質量なんかないだろうとか、光速の運動なのに古典力学的な方程式で扱っていいのか、みたいな突っ込みどころもある。
ダイジェスト版みたいな本稿の説明においても、計算が非常に手間であるにもかかわらず、出てきた解は確率過程で書けば
\[ x(t) = \frac{a}{\sqrt{\lambda}} \cos\omega t + \epsilon(t), \quad \epsilon(t)\sim N\left(0,\frac{1}{2\lambda}\right) \]
で記述できるぐらいの結果でしかない。確率過程論で書けば、ドリフトがcos関数のホワイトノイズ過程ということで説明は1行で終わりそうである。これが電磁場（光子）の運動をどのように表現しているものなのか、というのが調和振動子が表していることの直感的な意味ということになるかもしれない。以下において、筆者が考える仮説を示して終わりにしよう。
相対性理論における光速度不変の原理に正当性を認めると、上記の運動を光子の運動方程式と考えるのは適切でないように見える。速度が一定であるのだから、時間が一次元であるならば光子は直進運動以外できないはずであり、”自由状態におけるシュレディンガー方程式”で導出した
\[ x(t) = ct + \epsilon(t), \quad \epsilon(t)\sim N\left(0,\frac{\sigma^2}{2}\right) \]
でなければならないだろう。しかし、さらに相対性原理を仮定として加えると、実は時間が一次元であるという仮定は間違っており、記述の対象となる座標（もしくは粒子）の数だけ異なる時間が存在しなければならないということになる。相対性原理と光速度不変の原理を両立させる時空は円錐座標系（光円錐座標系）
\[ x^2 + c^2T_{xt}^2=c^2t^2 \]
といわれる座標系である。我々が時間として認識しているものは、\(\small t\)ではなく、座標\(\small x\)の関数として表される\(\small T_{xt}\)の方であり、時間という概念は幾何学的にいえば二次元の曲面（超曲面）であるということになる（こういったことを言いだしたのが朝永振一郎であり、超多時間理論といわれている。）。この座標系における空間という概念は時間を定数として固定したものであるから、\(\small t=1/c\)と仮定すると
\[ x^2 + s^2=1 \]
となり、相対性理論が想定している空間は球面\(\small S^1\)（実際は3次元球面\(\small S^3\)だけど）であるということになる。球面における座標は三角関数を用いて
\[ x(t) = \cos \omega t \\ s(t) = \sin \omega t \]
と表すことができるため、元の円錐座標系は
\[ \begin{align*} &x^2 + c^2 T_{xt}^2 = c^2t^2\left(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t\right) = c^2t^2 \\ \Rightarrow & x(t) = ct \cos \omega t \end{align*} \]
と表すことができる。
このように考えると、調和振動子のシュレディンガー方程式が導出する解はユークリッド空間上の座標ではなく、円錐座標系における座標を表しているものと推測することができるかもしれない。言い換えれば、角周波数を時間の逆数のように考えて、\(\small \omega \propto 1/t \)とおけば
\[ \frac{a}{\sqrt{\lambda}} = ct \propto \frac{c}{\omega} \]
のように定義できるかもしれない。結局、光子（電磁場）の観測座標（他の量子と相互作用する座標）は
\[ x(t) = ct \cos\omega t + \epsilon(t), \quad \epsilon(t)\sim N\left(0,\frac{\sigma^2}{2}\right) \]
と表されるということであり、これが調和振動子のシュレディンガー方程式が表現しているものであるという仮説を立てることができるだろう。このことから導かれる光子の運動は円錐座標系におけるホワイトノイズ過程であり、調和振動子のシュレディンガー方程式の記述が偶然にそれと一致しているということで電磁場の運動方程式として扱うことができている、というのが筆者が考える仮説である。このように考えると、そもそも調和振動子のシュレディンガー方程式は調和振動子ではなく、球面上の回転運動（これもポテンシャルは
\[ V(x) = \frac{m}{2}\omega^2x^2 \]
である）を表していることになる。誤解を招くネーミングをしているということである。まあ、筆者の知ったことではないけど・・・
また、上記のように時間という概念を二次元の曲面ととらえると離散値をとっているのは果たしてエネルギーなのかという疑念がわく。物理学ではエネルギーは時間発展に関する不変量と定義しているのであるから、それが確率的にバラバラの値をとりえるという描像は不自然であるだろう。光子本来のエネルギーは
\[ E = \frac{\hbar\omega}{2} \]
であり、\(\small 2n+1\)という形式の値をとっているのは別の概念であるのかもしれない。また、我々が日常的に時間として認識している概念は\(\small t\)ではなく、\(\small T_{xt}\)の方であると考えらえる。すなわち、波動関数の本来の形式は
\[\exp\left(-i\frac{E_n}{\hbar}T_{xt} \right) = \exp\left(-i\frac{E}{\hbar}\int_0^t\frac{\partial T_{xu}}{\partial u}du \right) \]
であり、局所時間に関する微分\(\small \partial T_{xt}/\partial t \)が
\[ \frac{\partial T_{xt}}{\partial t} \approx 1,3,5,7,\cdots \]
となるような値を取っているのではないかと推測する。物理学の実験ではこれを
\[ E_n = E \frac{\partial T_{xt}}{\partial t} \]
と認識しているために、よくわからない理論になってしまっているのかもしれない、というのが筆者の考える仮説である。
参考文献
[1] 朝永振一郎 (1997), 量子力学Ⅰ(第2版), みすず書房
[2] 朝永振一郎 (1997), 量子力学Ⅱ(第2版), みすず書房
[3] 平野要 (2022), 多時間理論による量子力学ー二重スリット実験に関する一考察ー, Amazon Kindle Store（英語訳：Hirano, Kaname (2022), Quantum Mechanics with Multi-Time Theory, Amazon Kindle Store.）
[4] 平野要 (2024), 複素関数とシュレディンガー方程式, Amazon Kindle Store（英語訳：Hirano, Kaname (2024), Complex Functions and Schrödinger Equation, Amazon Kindle Store.）
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