ケプラー方程式の級数

※ChatGPT画伯作 “A detailed depiction of a stellar system with a bright star at the center, surrounded by several planets.”

概要
軌道半径の級数
座標の級数
まとめ
参考文献

概要

　ケプラー方程式の稿

ケプラー方程式

恒星の周りを運動する惑星などの軌道が楕円軌道であるが、角速度は一定ではなく複雑な微分方程式を解かなければならない。ケプラー方程式といわれる代数方程式をベッセル関数を用いて解くことで解を求める方法を考える。

において、

\[ \small \begin{align*} &M(t) = E(t)-\epsilon\sin E(t) \\ &M(t) = 2\pi\frac{t}{T} = \sqrt{GM}a^{-3/2}t \end{align*} \]

の解が

\[ \small E(t) = M(t)+2\sum_{n=1}^\infty \frac{J_n(n\epsilon)}{n} \sin nM(t) \]

であると説明した。これは

\[ \small \epsilon \sin E(t) =2\sum_{n=1}^\infty \frac{J_n(n\epsilon)}{n} \sin nM(t) \]

とフーリエ展開できることから導出したものであった。同様にして\(\small \cos E(t)\)や運動方程式

\[ \small \begin{align*} &r(t) = \frac{a(1-\epsilon^2)}{1+\epsilon \cos \omega(t)} \\ &x(t) = r(t)\cos \omega(t) \\ &y(t) = r(t)\sin \omega(t) \\ &z(t) = 0 \\ &\frac{d\omega}{dt} = \frac{|L|}{mr^2} \end{align*} \]

における\(\small r(t),x(t),y(t)\)やその時間微分についても級数で直接的に計算する方法を考察しようというのが本稿の主題である。

軌道半径の級数

　ケプラー方程式の稿において、

\[ \small \begin{align*} &r(t) = a(1-\epsilon\cos E(t)) \\ &E(t) = M(t)+2\sum_{n=1}^\infty \frac{J_n(n\epsilon)}{n} \sin nM(t) \end{align*} \]

であるから、\(\small E(t)\)に２行目の式を代入して\(\small r(t)\)の経路を計算できることを述べた。ただし、これは級数が\(\small \cos\)関数の引数に含まれることになるため、扱いづらい部分が残る。そのため、この式も級数で展開することを考える。\(\small \sin E(t)\)と同様にして、

\[ \small \frac{r}{a} = 1- \epsilon \cos E(t) = B_0+\sum_{n=1}^\infty B_n \cos nM(t) \]

とcosine展開することができる。フーリエ逆変換をして係数を求めると

\[ \small \begin{align*} B_0 &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi(1-\epsilon \cos E(t))dM(t) = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi(1-\epsilon \cos E(t))\frac{dM(t)}{dE(t)}dE(t) \\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi(1-\epsilon \cos E(t))^2dE(t)=1+\frac{1}{2}\epsilon^2 \end{align*} \]

及び

\[ \small \begin{align*} B_n &= \frac{2}{\pi}\int_0^\pi (1-\epsilon \cos E(t))\cos nM(t)dM(t) \\ &= \left[\frac{2(1-\epsilon \cos E(t))\sin nM(t)}{n\pi} \right]_0^\pi+\frac{2}{n\pi}\int_0^\pi \sin nM(t) \frac{d(\epsilon \cos E(t))}{dM}dM \\ &= -\frac{2\epsilon}{n\pi}\int_0^\pi \sin (nE(t)-n\epsilon\sin E(t)) \sin E(t) dE \\ &= -\frac{2\epsilon}{n}J’_n(n\epsilon) \end{align*} \]

と計算できるようである。したがって

\[ \small r(t) = a +\frac{1}{2}a\epsilon^2-2a\epsilon \sum_{n=1}^\infty \frac{J’_n(n\epsilon)}{n} \cos nM(t) \]

が成り立つ。ベッセル関数の微分は

\[ \small J’_n(x) = \frac{d}{dx}J_n(x) = \frac{J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)}{2} \]

と計算できる。

\[ \small r(t) = a(1-\epsilon\cos E(t)) \]

であったから、式を反転させると

\[ \small \cos E(t) = \frac{a-r}{a\epsilon} = -\frac{1}{2}\epsilon+2 \sum_{n=1}^\infty \frac{J’_n(n\epsilon)}{n} \cos nM(t) \]

と求めることができる。

座標の級数

　ケプラー方程式の稿で説明した通り、\(\small x(t),y(t)\)は

\[ \small \begin{align*} &x(t) = r\cos \omega(t) = a\cos E(t)-a\epsilon \\ &y(t) = r\sin \omega(t) = a\sqrt{1-\epsilon^2}\sin E(t) \end{align*} \]

で表せるのであったから、式を代入すれば

\[ \small \begin{align*} &x(t) = -\frac{3}{2}a\epsilon+2a \sum_{n=1}^\infty \frac{J’_n(n\epsilon)}{n} \cos nM(t) \\ &y(t) = \frac{2a\sqrt{1-\epsilon^2}}{\epsilon}\sum_{n=1}^\infty \frac{J_n(n\epsilon)}{n} \sin nM(t)
\end{align*} \]

と表すことができる。\(\small t\)で微分すれば

\[ \small \begin{align*} &\frac{dx(t)}{dt} =-\frac{4a\pi}{T} \sum_{n=1}^\infty J’_n(n\epsilon) \sin nM(t) \\ &\frac{dy(t)}{dt} = \frac{2a\sqrt{1-\epsilon^2}}{\epsilon}\frac{2\pi}{T}\sum_{n=1}^\infty J_n(n\epsilon) \cos nM(t) \
\end{align*} \]

を得る。もう一度微分すると

\[ \small \begin{align*} &\frac{d^2x(t)}{dt^2} =-a\frac{4\pi^2}{T^2} \sum_{n=1}^\infty 2nJ’_n(n\epsilon) \cos nM(t) \\ &\frac{d^2y(t)}{dt^2} = -\frac{a\sqrt{1-\epsilon^2}}{\epsilon}\frac{4\pi^2}{T^2}\sum_{n=1}^\infty 2nJ_n(n\epsilon) \sin nM(t) \end{align*} \]

が成り立つ。また

\[ \small \frac{dr(t)}{dt} = \frac{x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}}{r}=\frac{4a\pi\epsilon}{T} \sum_{n=1}^\infty J’_n(n\epsilon) \sin nM(t) \]

でなければならないだろう。

　また、前節の級数計算を

\[ \small \frac{a}{r} = \frac{1}{1- \epsilon \cos E(t)} = B_0+\sum_{n=1}^\infty B_n \cos nM(t) \]

に適用することもできて、この場合

\[ \small \frac{a}{r} = 1+2\sum_{n=1}^\infty J_n(n\epsilon) \cos nM(t) \]

と計算できるようである。

\[ \small \cos\omega(t) = \frac{a}{r}\frac{1-\epsilon^2}{\epsilon}-\frac{1}{\epsilon} \]

であったから、代入すると

\[ \small \cos\omega(t) = -\epsilon+\frac{1-\epsilon^2}{\epsilon}\sum_{n=1}^\infty 2J_n(n\epsilon) \cos nM(t) \]

となる。\(\small \sin \omega(t)\)も級数で計算できるらしく

\[ \small \sin\omega(t) = \sqrt{1-\epsilon^2}\sum_{n=1}^\infty 2J’_n(n\epsilon) \sin nM(t) \]

となる（どうやって導出するのか筆者には理解が及んでいないけど）。

　\(\small \cos \omega(t)\)と\(\small \sin \omega(t)\)の級数部分は\(\small dx(t)/dt\)と\(\small dy(t)/dt\)と一致しているため、代入すると

\[ \small \begin{align*} &\frac{dx(t)}{dt} =-\frac{2a\pi}{T} \frac{\sin \omega(t)}{\sqrt{1-\epsilon^2}} \\ &\frac{dy(t)}{dt} = \frac{2a\pi}{T}\frac{\cos\omega(t)+\epsilon}{\sqrt{1-\epsilon^2}} \end{align*} \]

を得る。この式から速度の二乗を計算すると

\[ \small v^2(t) =\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy(t)}{dt}\right)^2 = \frac{4a^2\pi^2}{T^2}\frac{1}{1-\epsilon^2}(2(1+\epsilon\cos \omega(t))+(\epsilon^2-1)) \]

となる。\(\small T = 2\pi a^{3/2}/\sqrt{GM}\)を代入して整理すると

\[ \small v^2(t) = GM\left(\frac{2}{r(t)}-\frac{1}{a} \right) \]

を得ることができる。したがって、楕円運動の速度は

\[ \small v(t) = \sqrt{GM} \sqrt{\frac{2}{r(t)}-\frac{1}{a}} \]

と計算できることになる。

まとめ

　重力ポテンシャルから導かれる惑星の運動方程式は

\[ \small \begin{align*} &m\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{GmM}{r^3}x = -\frac{GmM}{(x^2+y^2)^{3/2}}x \\ &m\frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{GmM}{r^3}y = -\frac{GmM}{(x^2+y^2)^{3/2}}y \end{align*} \]

という連立微分方程式から求められるのであった。実をいうと、その解が

と求められるということである。対称な基礎方程式なのに、なぜ非対称な解が出てくるのか不思議に思うかもしれないが、境界条件

\[ \small x(0) = a(1-\epsilon), \quad y(0) =0 \]

が非対称であるからである。本稿の計算はこの境界条件を前提にして計算されたものであり、境界条件が異なれば、別の計算結果になることには注意が必要だろう。